Лемма о точке сочленения

Вершина $v$ связного графа $G$ является точкой сочленения $\iff$ в $G$ найдутся две отличные от $v$ вершины $u$ и $w$ такие, что любой $(u, w)$-путь содержит $v$.

$\Large{\implies}$ (Необходимость) Пусть $v$ — точка сочленения графа $G$. Тогда по определению граф $G-v$ не является связным. Возьмём две вершины $u$ и $w$ из разных компонент связности графа $G-v$. Тогда любой $(u, w)$-путь в исходном графе $G$ должен проходить через вершину $v$. $\Large{\impliedby}$ (Достаточность) Пусть существуют вершины $u \neq v$ и $w \neq v$ такие, что любой $(u, w)$-путь содержит $v$. Это означает, что в графе $G-v$ не существует пути между $u$ и $w$, то есть вершины $u$ и $w$ не связаны. Следовательно, граф $G-v$ не связный, а это по определению означает, что $v$ — точка сочленения. $\square$